Metodi numerici per la soluzione di Equazioni Differenziali Ordinarie [6,13,14,15,18,19,26,29,31,34,35,36,39,40,45]

Si sono sviluppati alcuni metodi BVM (Boundary Value Methods) per la soluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie. Si è studiata la stabilità per problemi a valori iniziali lineari e sono state derivate classi di metodi di ordine elevato con ottime proprietà di stabilità [6,13,15]. Sono state analizzate alcune tecniche di variazione del passo per costruire un codice efficiente competitivo con i codici esistenti per la soluzione di ODE [14]; questo lavoro è stato svolto in collaborazione con il Prof. W. Golik dell'University of Missouri-St. Louis (U.S.A.). Si sono derivate condizioni per l'esistenza e l'unicità della soluzione e si è studiata la stabilità per alcune classi di problemi non lineari [18,19].

È stato sviluppato e implementato il codice GAM per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie [26,29]. Nell'Ottobre 1997 il codice GAM è stato reso disponibile in rete all'indirizzo: http://www.dm.uniba.it/mazzia/ode/readme.html, una versione aggiornata del codice, che risolve anche equazioni differenziali algebriche è stata pubblicata nell'Agosto 2003. È stata inoltre sviluppata una versione parallela del codice GAM in Fortran 90 e MPI. Alcuni risultati numerici sono presentati in [31].

Recentemente sono state introdotte due nuove sottoclassi di block-BVMs : i Predictor Corrector Methods [39] sono idonei per una implementazione in parallelo ed hanno come prerogativa principale la minimizzazione delle comunicazioni tra i processori durante la procedura d'integrazione del problema continuo; Le Generalized Backward Differentiation Formulae, modificate opportunamente [40], generano metodi atti sia all'implementazione sequenziale che a quella parallela; in entrambi i casi, infatti, il loro costo computazionale è confrontabile con quello dei metodi multistep.

I continui contatti con il gruppo del CWI di Amsterdam ed inparticolare con il Prof. P.J. van der Houwen ha permesso il passaggio della gestione del sito web "Test set for IVP solvers" dal CWI all'Università di Bari diretto dalla sottoscritta. L'idea del Test Set è nata durante il workshop dal titolo ODE-to-NODE svoltosi in Norvegia (Geiranger) nel 1995, in cui si è manifestato l'interesse di raccogliere test derivanti da problemi reali applicativi da utilizzare per confrontare da diversi punti di vista i software esistenti. La prima versione del Test set è stata sviluppata al CWI fra il 1995 ed il 1998 con il contributo di molti studiosi e istituti di ricerca (fra cui l'NMI, l'istituto norvegese di meteorologia, e il RIVM, l'istituto olandese nazionale della salute pubblica e protezione dell'ambiente). La versione 2.1 è descritta nel rapporto [45] ed è stata resa disponibile nell'Agosto 2003 all'indirizzo: http://www.dm.uniba.it/~testset e adesso si presenta come uno dei siti più utilizzati per effettuare benchmark su algoritmi numerici per la soluzione di ODE. Come indicatore oggettivo riguardo al suo impatto sulle conoscenze scientifiche facciamo riferimento al numero di accessi che, da parte di ricercatori, applicativi, studiosi di tutto il mondo, vi sono a questo sito. Al momento le statistiche indicano un totale di 12788 accessi nel mese di Marzo 2004 (che risulta il mese più attivo dalla creazione del sito), 50056 accessi nel 2003. Inoltre, accedendo al sito http://pitagora.dm.uniba.it/ testset/reports/index.htm è possibile verificare, oltre al numero degli accessi, anche i domini di provenienza dei visitatori. Il Test Set viene anche referenziato direttamente da molte Università e centri di ricerca internazionali come sito di interesse per la risoluzione numerica di ODE e per la presenza di problemi test di rilievo.